ITP001 Axioms: ITP123^7.ax
%------------------------------------------------------------------------------
% File : ITP123^7 : TPTP v8.2.0. Bugfixed v7.5.0.
% Domain : Interactive Theorem Proving
% Axioms : HOL4 syntactic export, chainy mode
% Version : [BG+19] axioms.
% English :
% Refs : [BG+19] Brown et al. (2019), GRUNGE: A Grand Unified ATP Chall
% : [Gau19] Gauthier (2019), Email to Geoff Sutcliffe
% Source : [BG+19]
% Names : frac.ax [Gau19]
% : HL4123^7.ax [TPAP]
% Status : Satisfiable
% Syntax : Number of formulae : 123 ( 48 unt; 49 typ; 0 def)
% Number of atoms : 134 ( 84 equ; 13 cnn)
% Maximal formula atoms : 8 ( 1 avg)
% Number of connectives : 783 ( 13 ~; 6 |; 7 &; 713 @)
% ( 15 <=>; 29 =>; 0 <=; 0 <~>)
% Maximal formula depth : 10 ( 5 avg; 713 nst)
% Number of types : 5 ( 4 usr)
% Number of type conns : 70 ( 70 >; 0 *; 0 +; 0 <<)
% Number of symbols : 47 ( 45 usr; 5 con; 0-4 aty)
% Number of variables : 154 ( 3 ^ 134 !; 2 ?; 154 :)
% ( 15 !>; 0 ?*; 0 @-; 0 @+)
% SPC : TH1_SAT_EQU_NAR
% Comments :
% Bugfixes : v7.5.0 - Fixes to the axioms.
%------------------------------------------------------------------------------
thf(tyop_2Efrac_2Efrac,type,
tyop_2Efrac_2Efrac: $tType ).
thf(tyop_2Einteger_2Eint,type,
tyop_2Einteger_2Eint: $tType ).
thf(tyop_2Emin_2Ebool,type,
tyop_2Emin_2Ebool: $tType ).
thf(tyop_2Emin_2Efun,type,
tyop_2Emin_2Efun: $tType > $tType > $tType ).
thf(tyop_2Enum_2Enum,type,
tyop_2Enum_2Enum: $tType ).
thf(tyop_2Epair_2Eprod,type,
tyop_2Epair_2Eprod: $tType > $tType > $tType ).
thf(c_2Ebool_2E_21,type,
c_2Ebool_2E_21:
!>[A_27a: $tType] : ( ( A_27a > $o ) > $o ) ).
thf(c_2Earithmetic_2E_2A,type,
c_2Earithmetic_2E_2A: tyop_2Enum_2Enum > tyop_2Enum_2Enum > tyop_2Enum_2Enum ).
thf(c_2Earithmetic_2E_2B,type,
c_2Earithmetic_2E_2B: tyop_2Enum_2Enum > tyop_2Enum_2Enum > tyop_2Enum_2Enum ).
thf(c_2Epair_2E_2C,type,
c_2Epair_2E_2C:
!>[A_27a: $tType,A_27b: $tType] : ( A_27a > A_27b > ( tyop_2Epair_2Eprod @ A_27a @ A_27b ) ) ).
thf(c_2Ebool_2E_2F_5C,type,
c_2Ebool_2E_2F_5C: $o > $o > $o ).
thf(c_2Enum_2E0,type,
c_2Enum_2E0: tyop_2Enum_2Enum ).
thf(c_2Emin_2E_3D,type,
c_2Emin_2E_3D:
!>[A_27a: $tType] : ( A_27a > A_27a > $o ) ).
thf(c_2Emin_2E_3D_3D_3E,type,
c_2Emin_2E_3D_3D_3E: $o > $o > $o ).
thf(c_2Ebool_2E_3F,type,
c_2Ebool_2E_3F:
!>[A_27a: $tType] : ( ( A_27a > $o ) > $o ) ).
thf(c_2Einteger_2EABS,type,
c_2Einteger_2EABS: tyop_2Einteger_2Eint > tyop_2Einteger_2Eint ).
thf(c_2Earithmetic_2EBIT1,type,
c_2Earithmetic_2EBIT1: tyop_2Enum_2Enum > tyop_2Enum_2Enum ).
thf(c_2Epair_2EFST,type,
c_2Epair_2EFST:
!>[A_27a: $tType,A_27b: $tType] : ( ( tyop_2Epair_2Eprod @ A_27a @ A_27b ) > A_27a ) ).
thf(c_2Earithmetic_2ENUMERAL,type,
c_2Earithmetic_2ENUMERAL: tyop_2Enum_2Enum > tyop_2Enum_2Enum ).
thf(c_2Einteger_2ENum,type,
c_2Einteger_2ENum: tyop_2Einteger_2Eint > tyop_2Enum_2Enum ).
thf(c_2Ebool_2EONE__ONE,type,
c_2Ebool_2EONE__ONE:
!>[A_27a: $tType,A_27b: $tType] : ( ( A_27a > A_27b ) > $o ) ).
thf(c_2Ebool_2EONTO,type,
c_2Ebool_2EONTO:
!>[A_27a: $tType,A_27b: $tType] : ( ( A_27a > A_27b ) > $o ) ).
thf(c_2EintExtension_2ESGN,type,
c_2EintExtension_2ESGN: tyop_2Einteger_2Eint > tyop_2Einteger_2Eint ).
thf(c_2Epair_2ESND,type,
c_2Epair_2ESND:
!>[A_27a: $tType,A_27b: $tType] : ( ( tyop_2Epair_2Eprod @ A_27a @ A_27b ) > A_27b ) ).
thf(c_2Ebool_2ETYPE__DEFINITION,type,
c_2Ebool_2ETYPE__DEFINITION:
!>[A_27a: $tType,A_27b: $tType] : ( ( A_27a > $o ) > ( A_27b > A_27a ) > $o ) ).
thf(c_2Earithmetic_2EZERO,type,
c_2Earithmetic_2EZERO: tyop_2Enum_2Enum ).
thf(c_2Ebool_2E_5C_2F,type,
c_2Ebool_2E_5C_2F: $o > $o > $o ).
thf(c_2Efrac_2Eabs__frac,type,
c_2Efrac_2Eabs__frac: ( tyop_2Epair_2Eprod @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint ) > tyop_2Efrac_2Efrac ).
thf(c_2Efrac_2Efrac__0,type,
c_2Efrac_2Efrac__0: tyop_2Efrac_2Efrac ).
thf(c_2Efrac_2Efrac__1,type,
c_2Efrac_2Efrac__1: tyop_2Efrac_2Efrac ).
thf(c_2Efrac_2Efrac__add,type,
c_2Efrac_2Efrac__add: tyop_2Efrac_2Efrac > tyop_2Efrac_2Efrac > tyop_2Efrac_2Efrac ).
thf(c_2Efrac_2Efrac__ainv,type,
c_2Efrac_2Efrac__ainv: tyop_2Efrac_2Efrac > tyop_2Efrac_2Efrac ).
thf(c_2Efrac_2Efrac__div,type,
c_2Efrac_2Efrac__div: tyop_2Efrac_2Efrac > tyop_2Efrac_2Efrac > tyop_2Efrac_2Efrac ).
thf(c_2Efrac_2Efrac__dnm,type,
c_2Efrac_2Efrac__dnm: tyop_2Efrac_2Efrac > tyop_2Einteger_2Eint ).
thf(c_2Efrac_2Efrac__minv,type,
c_2Efrac_2Efrac__minv: tyop_2Efrac_2Efrac > tyop_2Efrac_2Efrac ).
thf(c_2Efrac_2Efrac__mul,type,
c_2Efrac_2Efrac__mul: tyop_2Efrac_2Efrac > tyop_2Efrac_2Efrac > tyop_2Efrac_2Efrac ).
thf(c_2Efrac_2Efrac__nmr,type,
c_2Efrac_2Efrac__nmr: tyop_2Efrac_2Efrac > tyop_2Einteger_2Eint ).
thf(c_2Efrac_2Efrac__save,type,
c_2Efrac_2Efrac__save: tyop_2Einteger_2Eint > tyop_2Enum_2Enum > tyop_2Efrac_2Efrac ).
thf(c_2Efrac_2Efrac__sgn,type,
c_2Efrac_2Efrac__sgn: tyop_2Efrac_2Efrac > tyop_2Einteger_2Eint ).
thf(c_2Efrac_2Efrac__sub,type,
c_2Efrac_2Efrac__sub: tyop_2Efrac_2Efrac > tyop_2Efrac_2Efrac > tyop_2Efrac_2Efrac ).
thf(c_2Einteger_2Eint__add,type,
c_2Einteger_2Eint__add: tyop_2Einteger_2Eint > tyop_2Einteger_2Eint > tyop_2Einteger_2Eint ).
thf(c_2Einteger_2Eint__lt,type,
c_2Einteger_2Eint__lt: tyop_2Einteger_2Eint > tyop_2Einteger_2Eint > $o ).
thf(c_2Einteger_2Eint__mul,type,
c_2Einteger_2Eint__mul: tyop_2Einteger_2Eint > tyop_2Einteger_2Eint > tyop_2Einteger_2Eint ).
thf(c_2Einteger_2Eint__neg,type,
c_2Einteger_2Eint__neg: tyop_2Einteger_2Eint > tyop_2Einteger_2Eint ).
thf(c_2Einteger_2Eint__of__num,type,
c_2Einteger_2Eint__of__num: tyop_2Enum_2Enum > tyop_2Einteger_2Eint ).
thf(c_2Einteger_2Eint__sub,type,
c_2Einteger_2Eint__sub: tyop_2Einteger_2Eint > tyop_2Einteger_2Eint > tyop_2Einteger_2Eint ).
thf(c_2Efrac_2Eles__abs,type,
c_2Efrac_2Eles__abs: tyop_2Efrac_2Efrac > tyop_2Efrac_2Efrac > $o ).
thf(c_2Efrac_2Erep__frac,type,
c_2Efrac_2Erep__frac: tyop_2Efrac_2Efrac > ( tyop_2Epair_2Eprod @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint ) ).
thf(c_2Ebool_2E_7E,type,
c_2Ebool_2E_7E: $o > $o ).
thf(logicdef_2E_2F_5C,axiom,
! [V0: $o,V1: $o] :
( ( c_2Ebool_2E_2F_5C @ V0 @ V1 )
<=> ( V0
& V1 ) ) ).
thf(logicdef_2E_5C_2F,axiom,
! [V0: $o,V1: $o] :
( ( c_2Ebool_2E_5C_2F @ V0 @ V1 )
<=> ( V0
| V1 ) ) ).
thf(logicdef_2E_7E,axiom,
! [V0: $o] :
( ( c_2Ebool_2E_7E @ V0 )
<=> ( (~) @ V0 ) ) ).
thf(logicdef_2E_3D_3D_3E,axiom,
! [V0: $o,V1: $o] :
( ( c_2Emin_2E_3D_3D_3E @ V0 @ V1 )
<=> ( V0
=> V1 ) ) ).
thf(logicdef_2E_3D,axiom,
! [A_27a: $tType,V0: A_27a,V1: A_27a] :
( ( c_2Emin_2E_3D @ A_27a @ V0 @ V1 )
<=> ( V0 = V1 ) ) ).
thf(quantdef_2E_21,axiom,
! [A_27a: $tType,V0f: A_27a > $o] :
( ( c_2Ebool_2E_21 @ A_27a @ V0f )
<=> ! [V1x: A_27a] : ( V0f @ V1x ) ) ).
thf(quantdef_2E_3F,axiom,
! [A_27a: $tType,V0f: A_27a > $o] :
( ( c_2Ebool_2E_3F @ A_27a @ V0f )
<=> ? [V1x: A_27a] : ( V0f @ V1x ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2Efrac__TY__DEF,axiom,
? [V0rep: tyop_2Efrac_2Efrac > ( tyop_2Epair_2Eprod @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint )] :
( c_2Ebool_2ETYPE__DEFINITION @ ( tyop_2Epair_2Eprod @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint ) @ tyop_2Efrac_2Efrac
@ ^ [V1f: tyop_2Epair_2Eprod @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint] : ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ ( c_2Epair_2ESND @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V1f ) )
@ V0rep ) ).
thf(thm_2Efrac_2Efrac__tybij,axiom,
( ! [V0a: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Efrac_2Erep__frac @ V0a ) )
= V0a )
& ! [V1r: tyop_2Epair_2Eprod @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint] :
( ( ^ [V2f: tyop_2Epair_2Eprod @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint] : ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ ( c_2Epair_2ESND @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V2f ) )
@ V1r )
<=> ( ( c_2Efrac_2Erep__frac @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ V1r ) )
= V1r ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2Efrac__nmr__def,axiom,
! [V0f: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V0f )
= ( c_2Epair_2EFST @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Efrac_2Erep__frac @ V0f ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2Efrac__dnm__def,axiom,
! [V0f: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V0f )
= ( c_2Epair_2ESND @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Efrac_2Erep__frac @ V0f ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2Efrac__sgn__def,axiom,
! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 )
= ( c_2EintExtension_2ESGN @ ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V0f1 ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2Efrac__ainv__def,axiom,
! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ V0f1 )
= ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Einteger_2Eint__neg @ ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V0f1 ) ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V0f1 ) ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2Efrac__minv__def,axiom,
! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__minv @ V0f1 )
= ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V0f1 ) ) @ ( c_2Einteger_2EABS @ ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V0f1 ) ) ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2Efrac__0__def,axiom,
( c_2Efrac_2Efrac__0
= ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2Efrac__1__def,axiom,
( c_2Efrac_2Efrac__1
= ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2Eles__abs__def,axiom,
! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac,V1f2: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Efrac_2Eles__abs @ V0f1 @ V1f2 )
= ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V0f1 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V1f2 ) ) @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V1f2 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V0f1 ) ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2Efrac__add__def,axiom,
! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac,V1f2: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__add @ V0f1 @ V1f2 )
= ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Einteger_2Eint__add @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V0f1 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V1f2 ) ) @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V1f2 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V0f1 ) ) ) @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V0f1 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V1f2 ) ) ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2Efrac__sub__def,axiom,
! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac,V1f2: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__sub @ V0f1 @ V1f2 )
= ( c_2Efrac_2Efrac__add @ V0f1 @ ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ V1f2 ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2Efrac__mul__def,axiom,
! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac,V1f2: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ V0f1 @ V1f2 )
= ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V0f1 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V1f2 ) ) @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V0f1 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V1f2 ) ) ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2Efrac__div__def,axiom,
! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac,V1f2: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__div @ V0f1 @ V1f2 )
= ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ V0f1 @ ( c_2Efrac_2Efrac__minv @ V1f2 ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2Efrac__save__def,axiom,
! [V0nmr: tyop_2Einteger_2Eint,V1dnm: tyop_2Enum_2Enum] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__save @ V0nmr @ V1dnm )
= ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V0nmr @ ( c_2Einteger_2Eint__add @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ V1dnm ) @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) ) ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2Efrac__bij,axiom,
( ! [V0a: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Efrac_2Erep__frac @ V0a ) )
= V0a )
& ! [V1r: tyop_2Epair_2Eprod @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint] :
( ( ^ [V2f: tyop_2Epair_2Eprod @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint] : ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ ( c_2Epair_2ESND @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V2f ) )
@ V1r )
<=> ( ( c_2Efrac_2Erep__frac @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ V1r ) )
= V1r ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC,axiom,
! [V0f: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V0f ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V0f ) ) )
= V0f ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__EQ,axiom,
! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Einteger_2Eint,V2a2: tyop_2Einteger_2Eint,V3b2: tyop_2Einteger_2Eint] :
( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V1b1 )
=> ( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V3b2 )
=> ( ( ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V0a1 @ V1b1 ) )
= ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V2a2 @ V3b2 ) ) )
<=> ( ( V0a1 = V2a2 )
& ( V1b1 = V3b2 ) ) ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__EQ__ALT,axiom,
! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac,V1f2: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( V0f1 = V1f2 )
<=> ( ( ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V0f1 )
= ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V1f2 ) )
& ( ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V0f1 )
= ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V1f2 ) ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__NOT__EQ,axiom,
! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Einteger_2Eint,V2a2: tyop_2Einteger_2Eint,V3b2: tyop_2Einteger_2Eint] :
( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V1b1 )
=> ( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V3b2 )
=> ( ( (~)
@ ( ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V0a1 @ V1b1 ) )
= ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V2a2 @ V3b2 ) ) ) )
<=> ( ( (~) @ ( V0a1 = V2a2 ) )
| ( (~) @ ( V1b1 = V3b2 ) ) ) ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__NOT__EQ__IMP,axiom,
! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Einteger_2Eint,V2a2: tyop_2Einteger_2Eint,V3b2: tyop_2Einteger_2Eint] :
( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V1b1 )
=> ( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V3b2 )
=> ( ( (~)
@ ( ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V0a1 @ V1b1 )
= ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V2a2 @ V3b2 ) ) )
=> ( (~)
@ ( ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V0a1 @ V1b1 ) )
= ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V2a2 @ V3b2 ) ) ) ) ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__DNMPOS,axiom,
! [V0f: tyop_2Efrac_2Efrac] : ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ V0f ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2ENMR,axiom,
! [V0a: tyop_2Einteger_2Eint,V1b: tyop_2Einteger_2Eint] :
( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V1b )
=> ( ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V0a @ V1b ) ) )
= V0a ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EDNM,axiom,
! [V0a: tyop_2Einteger_2Eint,V1b: tyop_2Einteger_2Eint] :
( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V1b )
=> ( ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V0a @ V1b ) ) )
= V1b ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__AINV__CALCULATE,axiom,
! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Einteger_2Eint] :
( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V1b1 )
=> ( ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V0a1 @ V1b1 ) ) )
= ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Einteger_2Eint__neg @ V0a1 ) @ V1b1 ) ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__MINV__CALCULATE,axiom,
! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Einteger_2Eint] :
( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V1b1 )
=> ( ( (~)
@ ( V0a1
= ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) ) )
=> ( ( c_2Efrac_2Efrac__minv @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V0a1 @ V1b1 ) ) )
= ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ ( c_2EintExtension_2ESGN @ V0a1 ) @ V1b1 ) @ ( c_2Einteger_2EABS @ V0a1 ) ) ) ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__SGN__CALCULATE,axiom,
! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Einteger_2Eint] :
( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V1b1 )
=> ( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V0a1 @ V1b1 ) ) )
= ( c_2EintExtension_2ESGN @ V0a1 ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__ADD__CALCULATE,axiom,
! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Einteger_2Eint,V2a2: tyop_2Einteger_2Eint,V3b2: tyop_2Einteger_2Eint] :
( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V1b1 )
=> ( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V3b2 )
=> ( ( c_2Efrac_2Efrac__add @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V0a1 @ V1b1 ) ) @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V2a2 @ V3b2 ) ) )
= ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Einteger_2Eint__add @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ V0a1 @ V3b2 ) @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ V2a2 @ V1b1 ) ) @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ V1b1 @ V3b2 ) ) ) ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__SUB__CALCULATE,axiom,
! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Einteger_2Eint,V2a2: tyop_2Einteger_2Eint,V3b2: tyop_2Einteger_2Eint] :
( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V1b1 )
=> ( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V3b2 )
=> ( ( c_2Efrac_2Efrac__sub @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V0a1 @ V1b1 ) ) @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V2a2 @ V3b2 ) ) )
= ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Einteger_2Eint__sub @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ V0a1 @ V3b2 ) @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ V2a2 @ V1b1 ) ) @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ V1b1 @ V3b2 ) ) ) ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__MULT__CALCULATE,axiom,
! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Einteger_2Eint,V2a2: tyop_2Einteger_2Eint,V3b2: tyop_2Einteger_2Eint] :
( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V1b1 )
=> ( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V3b2 )
=> ( ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V0a1 @ V1b1 ) ) @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V2a2 @ V3b2 ) ) )
= ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ V0a1 @ V2a2 ) @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ V1b1 @ V3b2 ) ) ) ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__DIV__CALCULATE,axiom,
! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Einteger_2Eint,V2a2: tyop_2Einteger_2Eint,V3b2: tyop_2Einteger_2Eint] :
( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V1b1 )
=> ( ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ V3b2 )
=> ( ( (~)
@ ( V2a2
= ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) ) )
=> ( ( c_2Efrac_2Efrac__div @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V0a1 @ V1b1 ) ) @ ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ V2a2 @ V3b2 ) ) )
= ( c_2Efrac_2Eabs__frac @ ( c_2Epair_2E_2C @ tyop_2Einteger_2Eint @ tyop_2Einteger_2Eint @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ V0a1 @ ( c_2EintExtension_2ESGN @ V2a2 ) ) @ V3b2 ) @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ V1b1 @ ( c_2Einteger_2EABS @ V2a2 ) ) ) ) ) ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__ADD__ASSOC,axiom,
! [V0a: tyop_2Efrac_2Efrac,V1b: tyop_2Efrac_2Efrac,V2c: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__add @ V0a @ ( c_2Efrac_2Efrac__add @ V1b @ V2c ) )
= ( c_2Efrac_2Efrac__add @ ( c_2Efrac_2Efrac__add @ V0a @ V1b ) @ V2c ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__MUL__ASSOC,axiom,
! [V0a: tyop_2Efrac_2Efrac,V1b: tyop_2Efrac_2Efrac,V2c: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ V0a @ ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ V1b @ V2c ) )
= ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ V0a @ V1b ) @ V2c ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__ADD__COMM,axiom,
! [V0a: tyop_2Efrac_2Efrac,V1b: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__add @ V0a @ V1b )
= ( c_2Efrac_2Efrac__add @ V1b @ V0a ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__MUL__COMM,axiom,
! [V0a: tyop_2Efrac_2Efrac,V1b: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ V0a @ V1b )
= ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ V1b @ V0a ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__ADD__RID,axiom,
! [V0a: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__add @ V0a @ c_2Efrac_2Efrac__0 )
= V0a ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__MUL__RID,axiom,
! [V0a: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ V0a @ c_2Efrac_2Efrac__1 )
= V0a ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__1__0,axiom,
(~) @ ( c_2Efrac_2Efrac__1 = c_2Efrac_2Efrac__0 ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__AINV__0,axiom,
( ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ c_2Efrac_2Efrac__0 )
= c_2Efrac_2Efrac__0 ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__AINV__AINV,axiom,
! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ V0f1 ) )
= V0f1 ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__AINV__ADD,axiom,
! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac,V1f2: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ ( c_2Efrac_2Efrac__add @ V0f1 @ V1f2 ) )
= ( c_2Efrac_2Efrac__add @ ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ V0f1 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ V1f2 ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__AINV__SUB,axiom,
! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac,V1f2: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ ( c_2Efrac_2Efrac__sub @ V1f2 @ V0f1 ) )
= ( c_2Efrac_2Efrac__sub @ V0f1 @ V1f2 ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__AINV__RMUL,axiom,
! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac,V1f2: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ V0f1 @ V1f2 ) )
= ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ V0f1 @ ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ V1f2 ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__AINV__LMUL,axiom,
! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac,V1f2: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ V0f1 @ V1f2 ) )
= ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ V0f1 ) @ V1f2 ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__MINV__1,axiom,
( ( c_2Efrac_2Efrac__minv @ c_2Efrac_2Efrac__1 )
= c_2Efrac_2Efrac__1 ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__SUB__ADD,axiom,
! [V0a: tyop_2Efrac_2Efrac,V1b: tyop_2Efrac_2Efrac,V2c: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__sub @ V0a @ ( c_2Efrac_2Efrac__add @ V1b @ V2c ) )
= ( c_2Efrac_2Efrac__sub @ ( c_2Efrac_2Efrac__sub @ V0a @ V1b ) @ V2c ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__SUB__SUB,axiom,
! [V0a: tyop_2Efrac_2Efrac,V1b: tyop_2Efrac_2Efrac,V2c: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__sub @ V0a @ ( c_2Efrac_2Efrac__sub @ V1b @ V2c ) )
= ( c_2Efrac_2Efrac__add @ ( c_2Efrac_2Efrac__sub @ V0a @ V1b ) @ V2c ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__SGN__TOTAL,axiom,
! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 )
= ( c_2Einteger_2Eint__neg @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) ) )
| ( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 )
= ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) )
| ( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 )
= ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__SGN__POS,axiom,
! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 )
= ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) )
<=> ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V0f1 ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__SGN__NOT__NEG,axiom,
! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( (~)
@ ( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 )
= ( c_2Einteger_2Eint__neg @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) ) ) )
<=> ( ( ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 )
= ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V0f1 ) )
| ( c_2Einteger_2Eint__lt @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V0f1 ) ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__SGN__NEG,axiom,
! [V0f: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Einteger_2Eint__neg @ ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ V0f ) ) )
= ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__SGN__IMP__EQGT,axiom,
! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( (~)
@ ( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 )
= ( c_2Einteger_2Eint__neg @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) ) ) )
<=> ( ( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 )
= ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) )
| ( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 )
= ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__SGN__MUL,axiom,
! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac,V1f2: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ V0f1 @ V1f2 ) )
= ( c_2Einteger_2Eint__mul @ ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V1f2 ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__ABS__SGN,axiom,
! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( (~)
@ ( ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ V0f1 )
= ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) ) )
=> ( ( c_2Einteger_2EABS @ ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 ) )
= ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__SGN__MUL2,axiom,
! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac,V1f2: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ V0f1 @ V1f2 ) )
= ( c_2Einteger_2Eint__mul @ ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V1f2 ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__SGN__CASES,axiom,
! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac,V1P: $o] :
( ( ( ( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 )
= ( c_2Einteger_2Eint__neg @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) ) )
=> V1P )
& ( ( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 )
= ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) )
=> V1P )
& ( ( ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 )
= ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) )
=> V1P ) )
=> V1P ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__SGN__AINV,axiom,
! [V0f1: tyop_2Efrac_2Efrac] :
( ( c_2Einteger_2Eint__neg @ ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ V0f1 ) ) )
= ( c_2Efrac_2Efrac__sgn @ V0f1 ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__AINV__ONEONE,axiom,
c_2Ebool_2EONE__ONE @ tyop_2Efrac_2Efrac @ tyop_2Efrac_2Efrac @ c_2Efrac_2Efrac__ainv ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__AINV__ONTO,axiom,
c_2Ebool_2EONTO @ tyop_2Efrac_2Efrac @ tyop_2Efrac_2Efrac @ c_2Efrac_2Efrac__ainv ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__NMR__SAVE,axiom,
! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Enum_2Enum] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__nmr @ ( c_2Efrac_2Efrac__save @ V0a1 @ V1b1 ) )
= V0a1 ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__DNM__SAVE,axiom,
! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Enum_2Enum] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__dnm @ ( c_2Efrac_2Efrac__save @ V0a1 @ V1b1 ) )
= ( c_2Einteger_2Eint__add @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ V1b1 ) @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__0__SAVE,axiom,
( c_2Efrac_2Efrac__0
= ( c_2Efrac_2Efrac__save @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) @ c_2Enum_2E0 ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__1__SAVE,axiom,
( c_2Efrac_2Efrac__1
= ( c_2Efrac_2Efrac__save @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) @ c_2Enum_2E0 ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__AINV__SAVE,axiom,
! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Enum_2Enum] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__ainv @ ( c_2Efrac_2Efrac__save @ V0a1 @ V1b1 ) )
= ( c_2Efrac_2Efrac__save @ ( c_2Einteger_2Eint__neg @ V0a1 ) @ V1b1 ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__MINV__SAVE,axiom,
! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Enum_2Enum] :
( ( (~)
@ ( V0a1
= ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ c_2Enum_2E0 ) ) )
=> ( ( c_2Efrac_2Efrac__minv @ ( c_2Efrac_2Efrac__save @ V0a1 @ V1b1 ) )
= ( c_2Efrac_2Efrac__save @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ ( c_2EintExtension_2ESGN @ V0a1 ) @ ( c_2Einteger_2Eint__add @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ V1b1 ) @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) ) ) @ ( c_2Einteger_2ENum @ ( c_2Einteger_2Eint__sub @ ( c_2Einteger_2EABS @ V0a1 ) @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ ( c_2Earithmetic_2ENUMERAL @ ( c_2Earithmetic_2EBIT1 @ c_2Earithmetic_2EZERO ) ) ) ) ) ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__ADD__SAVE,axiom,
! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Enum_2Enum,V2a2: tyop_2Einteger_2Eint,V3b2: tyop_2Enum_2Enum] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__add @ ( c_2Efrac_2Efrac__save @ V0a1 @ V1b1 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__save @ V2a2 @ V3b2 ) )
= ( c_2Efrac_2Efrac__save @ ( c_2Einteger_2Eint__add @ ( c_2Einteger_2Eint__add @ ( c_2Einteger_2Eint__add @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ V0a1 @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ V3b2 ) ) @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ V2a2 @ ( c_2Einteger_2Eint__of__num @ V1b1 ) ) ) @ V0a1 ) @ V2a2 ) @ ( c_2Earithmetic_2E_2B @ ( c_2Earithmetic_2E_2B @ ( c_2Earithmetic_2E_2A @ V1b1 @ V3b2 ) @ V1b1 ) @ V3b2 ) ) ) ).
thf(thm_2Efrac_2EFRAC__MUL__SAVE,axiom,
! [V0a1: tyop_2Einteger_2Eint,V1b1: tyop_2Enum_2Enum,V2a2: tyop_2Einteger_2Eint,V3b2: tyop_2Enum_2Enum] :
( ( c_2Efrac_2Efrac__mul @ ( c_2Efrac_2Efrac__save @ V0a1 @ V1b1 ) @ ( c_2Efrac_2Efrac__save @ V2a2 @ V3b2 ) )
= ( c_2Efrac_2Efrac__save @ ( c_2Einteger_2Eint__mul @ V0a1 @ V2a2 ) @ ( c_2Earithmetic_2E_2B @ ( c_2Earithmetic_2E_2B @ ( c_2Earithmetic_2E_2A @ V1b1 @ V3b2 ) @ V1b1 ) @ V3b2 ) ) ) ).
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